こんにちは！個別指導グノリンクの『小学生の君に送る60秒コラム』を読んでくれてありがとう。

今回のコラムは、「対角線の本数」について考えてみます。

問：正五角形の対角線の数は何本でしょう

この問題でいう対角線とは、隣り合わない二つの頂点を結ぶ線分のことです。
下の図でいうと、黄色の線が対角線ですね。
数えてみると星形に５本引けることが分かりますので、問の答えは５本です。

ですが、もしこの問題が正十角形だったら…図に描くのは難しいですよね。
そこで、対角線の本数を出す式について考えてみましょう。

この五角形の５つの頂点を　A,B,C,D,E　とします。
Aからひくことのできる対角線は、CへとDへの２本です。
AとB、AとEはそれぞれ隣り合っており、辺がつながっているため対角線はひけません。
５つ頂点があるうち、自分自身(A)と両隣(B、E)には対角線がひけないので、これは５－３＝２(本)と表すことができます。

同じようにBからもDへとEへの２本の対角線をひくことができます。

次にCからひこうとすると…Aにはすでに黄色の線があるので、Eへの１本だけになりますね。
D、Eからももうすでに線がひいてあるのでこれ以上の線はひけません。

ここまでをまとめると、
①正五角形の一つの頂点からひける線は２本　(５−３＝２)
②もうすでに線がひいてあるところには、重ねて線をひくことができない
ということがわかりました。

では、このことから対角線の本数を出す式を作ってみましょう。
正五角形の一つの頂点からひける対角線は５−３＝２(本)、頂点は全部で５つありますので、これだけですと対角線は(５−３)×５ひけることになります。
ですがこのままだと、「AからC」と「CからA」のように同じところに線を２本ずつひいていることになってしまいますので、重ならないように÷２が必要です。
よって正五角形の対角線の本数は
(５−３)×５÷２＝５(本)
と式で求めることができます。

これがもし正十角形であれば、①の一つの頂点からひける線の本数は　１０−３＝７(本)　になります。
頂点が全部で１０個、重ならないよう÷２をすると、
(１０−３)×１０÷２＝３５で、正十角形の対角線の本数は３５本ということがわかります。

このように、正ｎ角形の対角線の本数は(ｎ−３)×ｎ÷２で出すことができるのです。
ぜひ覚えておいてくださいね。

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