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今回はN進法についてお話ししたいと思います。

N進法とはNのところに数字が入って、2進法や8進法や16進法などの総称です。
普段みなさんが使っているのは10進法で10かたまったらけたが1つ繰り上がる決まりのものです。
これが当たり前と思っているかもしれませんが、世の中には2つかたまるとけたが1つ繰り上がる2進法や16個かたまるとけたが1つ繰り上がる16進法なども存在します。

ではまず10進法について説明します。

10かたまるとけたが1つ繰り上がります。
十の位がまた10かたまるとけたが1つ繰り上がり10が10個で百の位になります。
そして百の位がまた10かたまるとけたが1つ繰り上がり100が10個で千の位になります。
ここから先はこの繰り返しになります。

ちなみに10進法では1けたで10を表す数字はありません。
なぜなら10かたまると繰り上がるので9まであれば足りるからです。234という数は「2百3十4」と読みますが、これは100が2つと十が3つと1が4つという意味になります。

では2進法ではどうなるか説明します。

2進法では2つかたまるとけたが1つ繰り上がるので、1に1を足すと2ではなく1つ繰り上がって10になります。
ちなみにこれはじゅうとは読みません。なぜなら1の数字がある位は十の位ではなく2の位だからです。
無理に読むといちにとなるのでしょうか。ややこしいので位は読まずにいちぜろと読むのがいいかもしれませんね。
さらに10の続きを進むと次は11、その次は繰り上がってさらにもう一つ繰り上がって100、そして101、110、111、1000…と続きます。
位取りは一番下の位は1の位、その左は2の位、その左は2が2個で4の位、その左は4が2個で8の位、その左は8が2個で16の位、…と続きます。
ですから2進法の1111は10進法では、8+4+2+1=15となります。
ちなみにコンピューターは2進法で動いています。
コンピューターは物なのでONかOFFしかわからないので、0と1しかない2進法しか使えないのです。なので打ち込まれた数字を2進法になおして2進法で計算しその結果を10進法になおして表示しています。
面倒くさいと思うかもしれませんがこれしかできないのです。

では、10進法で表された数字をどのようにして2進法になおすのでしょうか。

色々なテキストではよく割り算の反対のようなものを使って計算しています。
たとえば、10進法の11を2進法になおすには、下のように11を商が1以下になるまで2で割り続け余りを横に書きながら計算し、最後に下から読んでいきます。すると答えは1011となります。

2)11
2) 5 …1 ↑
2) 2 …1 ↑
1 …0 ↑
→→→→→↑

なぜこのような方法でできるのかというと、一番下の1は11を2で3回割った商ですから、2×2×2=8のかたまりが1個あることを表しています。
また、その横の0は11を2で2回割った2のあまり、つまり2×2=4のかたまりが0個あまったということです。
その上の1は11を2で1回割った5のあまりなので2のかたまりが1個あまったということ、さらにその上の1は11を割ったあまりなので1が1個あまったということになります。
ですから10進法の11を2進法になおすと8のかたまりが1個、4のかたまりが0個、2のかたまりが1個、1のかたまりが1個なので1011となるわけです。
この計算の意味は少しややこしいですね。
なので先に2進数の位取りをある程度書いておいて11の中にそれぞれの位の数字が何個入るかを考えた方が2進数の意味もわかりやすいですし解き方を暗記する必要もありませんね。たとえば10進法の13を2進法になおすと、13÷8=1あまり5より8のかたまりが1個、5÷4=1あまり1より4のかたまりが1個、1÷2=0あまり1より2のかたまりは0個であまりが1なので1のかたまりが1個となり答えは1101となります。

では、実際に中学入試に出題された問題をみてみましょう。

例題1
5種類の数字0,1,2,3,4を用いて表される数を次のように小さい順に並べます。
0,1,2,3,4,10,11,12,13,14,20,21,22,23.…
このとき、2014番目の数を求めなさい。 (2014年渋谷教育学園渋谷中)

解説1
出てくる数字が4までなので、5かたまると繰り上がる5進法の数を小さい順に並べたものとわかります。これを10進法になおして並べてみると、
0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13…
ときれいに0から順に並んでいます。つまり2014番目は先頭が0なので2013となるのでこれを5進法になおすと下のように答えになります。

5)2013
5) 402…3
5)  80…2 ↑
5)  16…0 ↑
3…1 ↑
→→→→↑

よって、答えは31023となります。問題を見たときに何進法か気づけば簡単に解けますね。大ざっぱに言うと出てくる数字が2までなら3進法、3までなら4進法、4までなら5進法、…といった具合です。

みなさん、少しN進法のことがわかりましたか。時間があるときに16進法のことなどを考えてみるのもいいかもしれません。1けたでどうやって0~15を表すのかとか…。
ではまた。

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